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    21 其它的波动率计算方法 | 金融时间序列分析讲义
    信息来源:网络  ‖  发稿作者:admin   ‖  发布时间:2019-11-09  ‖  查看: 0次

            

            

            
            

    运用高频履历计算波动率

            (法语), Schwert, and Stambaugh 1987)运用高频履历计算低频退位波动率, 又可求教于(安徒生传 et 铝。 2001)(安徒生传 et 铝。 2001)

            免得我们的对资产的每月波动率感兴趣, 资产日进项履历表现, 设\(r_t^m\)是资产的\(t\)月对数退位, 第\(t\)总共一个人月\(n\)个市日, 掌握每日日记复回为\(\{ r_{t,i} \}_{i=1}^n\), 则 \[ r_t^m = \sum_{i=1}^n r_{t,i} \]

             让每个投降序列的健康状况方差在。, 记

    \(F_{t-1}\)

            最后部分日期

    (T-1)

            月杪消息,则

    \[\begin{align} \text{Var}(r_t^m | F_{t-1}) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1}) + 2 \sum_{i

             上级的表情休息

    \(t\)

            ,

    \(i\)

            复杂的方差建筑学。 若

    \(\{r_{t,i}\}\)

            是孤独同散布零平均数白噪声列, 则这时

    \(r_{t,i}\)

            与

    \(F_{t-1}\)

            孤独, 有

    \(\text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j} | F_{t-1}) = \text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j})=0\)

            ,

    \(\text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1}) = \text{Var}(r_{t,i}) = \text{Var}(r_{t,1})\)

            , 因而这时

    \[\begin{align} \text{Var}(r_t^m | F_{t-1}) = n \text{Var}(r_{t,1}) \tag{} \end{align}\]

             内侧

    \(\text{Var}(r_{t,1})\)

            依据范本可以观察为

    \[ \hat\sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} - \bar r_t)^2, \quad \bar r_t = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n r_{t,i} \]

             进而

    \(\text{Var}(r_t^m | F_{t-1})\)

            观察是

    \[\begin{align} \hat\sigma_m^2 = \frac{n}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} - \bar r_t)^2 \tag{} \end{align}\]

             若

    \(\{ r_{t,i} \}\)

            孤独同散布白噪声的MA(1)陶冶, 则

    \(r_{t,i}, i=2,\dots,n\)

            与

    \(F_{t-1}\)

            孤独, 相近有

    \[\begin{align} \text{Var}(r_t^m | F_{t-1}) \approx n \text{Var}(r_{t,2}) + 2(n-1) \text{Cov}(r_{t,2}, r_{t,3}) \tag{} \end{align}\]

             可观察为

    \[\begin{align} \hat\sigma_m^2 = \frac{n}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} - \bar r_t)^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1} (r_{t,i} - \bar r_t) (r_{t,i+1} - \bar r_t) \tag{} \end{align}\]

            左右,观察低频退位波动性的方式, 虽然有很多成绩:

    • 日投降陶冶未知,使得\(\text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1})\)\(\text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j} | F_{t-1})\)能够有复杂的建筑学。 免得\(\{ r_{t,i} \}\)属于孤独且同样看待散布的白噪声或MA,能够不诉讼。
    • 免得运用每日履历来观察每月履历的波动性, 一个人月大概有21个市日, 范本量较小, 方差和协方差观察准确不高。 观察的准确休息\(\{ r_{t,i} \}\)静态建筑学与散布, 免得\(\{ r_{t,i} \}\)有较高的超额峭度和较高的序列相关性, 用()和()观察 \(\text{Var}(r_t^m|F_{t-1})\)能够是不遵照的, 求教于Bai, X., Russell, J. R. 和Tiao, G. C.(2004)的未宣布论文。

            用日履历观察月波动率的R应变量求教于。 应变量vold2m不计算第一个人月的波动率。

            

    用日频履历观察标准普尔500月对数退位

            用高频方式观察标准普尔500的月对数退位的波动率, 工夫年龄为1980年1月到2010年8月, 运用日频履历观察。

            思索三种方式的关系上地:

    • 运用日频履历,呈现日履历是孤独同散布白噪声;
    • 运用日频履历,呈现日履历是MA(1);
    • 运用月刊履历,敷用高斯GARCH(1,1)陶冶观察。
            
            da <-read_table2(
      "", col_types=cols(.default=col_double()))
     <-xts(
      da[,-(1:3)], 
      make_date(询问者)"Year"]], da[["Mon"]], da[["Day"]]))

            运用蔡瑞雄教R应变量计算MON的波动性, 免得日对数退位是严厉使放入马厩般的室内的:

            
            MOD1 <-vold2m(询问者),c("Mon", "Day", "Year", "Adjclose")])
    v1 <-ts(MOD1$volatility, start=c(1980,2), frequency=12)

            成功实现的事为克制volatilityndays的列表。

            运用蔡瑞雄教R应变量计算MON的波动性, 呈现日对数退位为严使放入马厩般的室内MA(1)序列:

            
            mod2 <-vold2m(询问者),c("Mon", "Day", "Year", "Adjclose")], ma=1)
    v2 <-ts(mod2$volatility, start=c(1980,2), frequency=12)

            读入标准普尔500物价、人口等的指数月刊OHLC履历,从1967年1月到2010年9月:

            
            da2 <-read_table2(
      "", col_types=cols(.default=col_double()))
    xts.sp5m <-xts(
      da[,-(1:3)], 
      make_date(询问者)"Year"]], da[["Mon"]], da[["Day"]]))
    sp5 <-diff(log(da2[["Adjclose"]]))

            对月刊履历确立或使安全GARCH陶冶:

            ## 使担负所需的软件包:timeDate
            ## 使担负所需的软件包:timeSeries
            ## 
    ## 使担负软件包:工夫序列
            ## The following object is masked from '套餐:小动物园'
    ## 
    ##     time<-
            ## 使担负所需的软件包:fBasics
            ## 
    ## 使担负软件包:''fBasics''
            ## The following object is masked from ''package:TTR'':
    ## 
    ##     volatility
            
            MOD3 <-garchFit( ~1+garch(1,1), data=sp5, 追踪FALSE)
    summary(MOD3)
            ## 
    ## Title:
    ##  GARCH Modelling 
    ## 
    ## Call:
    ##  garchFit(formula = ~1 + GARCH(1), 1), data = sp5, 追踪 = 假) 
    ## 
    ## Mean and Variance Equation:
    ##  data ~ 1 + GARCH(1), 1)
    ## 
    ##  [履历] = sp5]
    ## 
    ## Conditional Distribution:
    ##  norm 
    ## 
    ## 系数
    ##         mu       omega      α1       β1  
    ## 5.3471e-03  9.3263e-05  422e-01  864e-01  
    ## 
    ## 发热的 Errors:
    ##  based on Hessian 
    ## 
    ## Error Analysis:
    ##         Estimate  发热的 Error  t value PR(>t)    
    ## mu     5.347e-03   1.742e-03    3.069 0.002149 ** 
    ## omega  9.326e-05   4.859e-05    1.919 4942 .  
    ## α1 42e-01   3.003e-02    3.804 0.000142 ***
    ## β1  86e-01   3.186e-02   26.634  < 2e-16 ***
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 ''***''  ''**''  ''*''  ''.''  '' '' 1
    ## 
    ## Log Likelihood:
    ##  899.7817    normalized:  1.717141 
    ## 
    ## Description:
    ##  Sat May 05 17:18:24 2018 by user: user 
    ## 
    ## 
    ## Standardised Residuals Tests:
    ##                                 Statistic p-Value     
    ##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  172.5211  0           
    ##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9690782 4.639274e-09
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  17329  441774   
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  15.451    0.4194449   
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  17.56469  0.61606     
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  5.466795  0.8578981   
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  7.031543  0.9567685   
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  8.200425  0.9904566   
    ##  LM Arch Test       R    TR^2   5.62988   0.9335791   
    ## 
    ## Information Criterion Statistics:
    ##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
    ## -3.419014 -3.386484 -3.419129 -3.406275
            
            v3 <-window(ts(volatility(MOD3), start=c(1967, 2), frequency=12),
                 start=c(1980,2), end=c(2010,8))

            从GARCH安装成功实现的事可以看出,该陶冶是广大的的。 安装陶冶为 \[\begin{aligned} r_t^m =& 0.0053 + a_t, \quad a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \text{N}(0,1) \\ \sigma_t^2 =& 0.00009326 + 142 a_{t-1}^2 + \sigma_{t-1}^2 \end{aligned}\]

            以下是三种方式观察的波动率的关系上地:

            
            plot(V1), xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Daily Price WN Assumption",
         ylim=c(0, ))
            标准普尔500月波动率用呈现白噪声日频履历观察

             图: 标准普尔500月波动率用呈现白噪声日频履历观察

            
            plot(v2, xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Daily Price MA(1) Assumption",
         ylim=c(0, ))
            标准普尔500月波动率用呈现MA(1)日频履历观察

             图: 标准普尔500月波动率用呈现MA(1)日频履历观察

            
            plot(v3, xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Monthly Price GARCH(1,1)",
         ylim=c(0, ))
            标准普尔500月波动率用GARCH陶冶观察

             图: 标准普尔500月波动率用GARCH陶冶观察

            可以看出日频履历观察的波动率厚尾更为悲哀。 将观察的三个波动率序列画在相同座标系中:

            
            plot(c(time(V1))), c(V1)), type="l", xlab="Year", 
         ylab="Volatility", 
         main="Comparing 3 volatility series",
         ylim=c(0, ),
         col="blue")
    lines(c(time(V1))), c(v2), col="cyan")
    lines(c(time(V1))), c(v3), col="black")
    legend("top", lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
           legend=c(每日白噪声免得, 日频率MA(1)免得, 每月频率GARCH(1,1)测算))
            标准普尔500用三种方式观察的月波动率

             图: 标准普尔500用三种方式观察的月波动率

            从图看,日频履历成功实现的事仅在很高的时分比月频成功实现的事高很多, 一般情况下观察成功实现的事上涂料相近; 观察的走势根本分歧。

            关系上地三种方式买到的月波动率散布密度:

            
            den1 <-density(c(V1)), from=, to=0.29)
    den2 <-density(c(v2), from=, to=0.29)
    den3 <-density(c(v3), from=, to=0.29)
    plot(den1, xlab="Volatility", ylab="Density",
         main="Comparing 3 volatility densities",
         ylim=c(0, 40), 
         col="blue")
    lines(den2, col="cyan")
    lines(den3, col="black")
    legend("topright", lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
           legend=c(每日白噪声免得, 日频率MA(1)免得, 每月频率GARCH(1,1)测算))
            用三种方式观察月波动率的散布密度

             图: 用三种方式观察月波动率的散布密度

            从图中可以看出,日频率观察的波动性, 月频率履历观察的成功实现的事散布绝对较广。 除非必然的顶点值, 数值徘徊意见相左刚刚。

            

    运用OHLC履历

            很多地资产都有OHLC履历, 它可以用来观察波动性。

            
            (3)
     <-exp(cumsum(c(3, rnorm(200, mean=0, sd=))))
    xg <-seq(0, 1, length=length())
    plot(xg, , type="l",
         xlim=c(-, ), ylim=c(0, 50),
         xlab="Time", ylab="Price", axes=FALSE)
    box()
    axis(2)
    axis(1, at=c(0, , 1), labels=c(expression(0), expression(f), expression(1)))
    abline(v=c(0, , 1))
    text(0, exp(3), expression(C[t-1]), adj=)
    text(2, [101] -1, expression(O[t]))
    sele <-xg >=text(xg[sele][([sele])], min([sele]) -2, expression(L[t]))
    text(xg[sele][([sele])], max([sele]) +2, expression(H[t]))
    text(1, [201], expression(C[t]), adj=-0.2)

            

            属于每一资产,规定如次变量:

    • \(O_t\): 第\(t\)个市日的以开盘价
    • \(H_t\): 第\(t\)个市日的绝对价
    • \(L_t\): 第\(t\)个市日的最低价钱
    • \(C_t\): 第\(t\)个市日的金钱或财产的转让
    • \(f\):一个人自然的日中亲密的工夫上浆的使成比例,是一个人\([0,1]\)暗中的数
    • \(F_{t-1}\): 表现最后部分到(T-1)个市日的掌握有议论余地的消息, 但=mathematics上应该是插上一手建模的掌握可庆祝变量最后部分到(T-1)市日的变量的\(\sigma\)代数

            当价钱为对数价钱时, 日对数退位健康状况方差或波动率为 \(\sigma_t^2 = E[ (C_t - C_{t-1})^2 | F_{t-1}]\)

            (Garman and Klass 1980)思索了\(\sigma_t^2\)的多种观察, 论文呈现价钱推迟一个人不带漂移的累赘的行动方向, 可关系上地的观察有 \[\begin{aligned} \hat\sigma_{0t}^2 =& (C_t - C_{t-1})^2 \\ \hat\sigma_{1t}^2 =& \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{2f} + \frac{(C_t - O_{t})^2}{2(1-f)} \\ \hat\sigma_{2t}^2 =& \frac{(H_t - L_t)^2}{4\ln 2} \approx 607 (H_t - L_t)^2 \\ \hat\sigma_{3t}^2 =& 7 \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{f} + \frac{(H_t - L_t)^2}{(1-f)4\ln 2} \\ \hat\sigma_{5t}^2 =& (H_t - L_t)^2 - (2 \ln 2 - 1) (C_t - O_t)^2 \approx (H_t - L_t)^2 - 86 (C_t - O_t)^2 \\ \hat\sigma_{6t}^2 =& 5 \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{f} + \frac{\hat\sigma_{5t}^2}{1-f} \end{aligned}\] 内侧用到\(f\)掌握必要\(0。 本文还思索了更复杂的\(\hat\sigma_{4t}^2\)表情, 但与\(\hat\sigma_{5t}^2\)近似。 \(\hat\sigma_{2t}^2\)观察方式是(帕金森 1980)建议的。

            波动率观察的赢利性行列式规定为 \[\begin{aligned} \text{Eff}(\hat\sigma_{it}^2) = \frac{\text{Var}(\hat\sigma_{0t}^2)}{\text{Var}(\hat\sigma_{it}^2)} \end{aligned}\](Garman and Klass 1980)被发现的事物价钱推迟一个人简略的累赘的陶冶, \(i=1,2,3,5,6\)\(\text{Eff}(\hat\sigma_{it}^2)\)分袂为 2, 5.2, 6.2, 7.4和, 即\(\hat\sigma_{6t}^2\)最无效的观察。

            回归对数退位。规定

    • \(o_t = \ln O_t - \ln C_{t-1}\)为使标准化以开盘价;
    • \(u_t = \ln H_t - \ln O_t\)为使标准化绝对价;
    • \(d_t = \ln L_t - \ln O_t\)为使标准化最低价钱;
    • \(c_t = \ln C_t - \ln O_t\)为使标准化金钱或财产的转让。

             包括

    \(n\)

            天履历,波动率在很年龄保全常量,

    (杨 and Zhang 2000)

            建议了如次的波动率稳定的观察

    \[\begin{align} \hat\sigma_{yz}^2 = \hat\sigma_o^2 + k \hat\sigma_c^2 + (1-k) \hat\sigma_{rs}^2 \tag{} \end{align}\]

            内侧 \[\begin{aligned} \hat\sigma_o^2 =& \frac{1}{n-1} \sum_{t=1}^n (o_t - \bar o)^2 \\ \hat\sigma_c^2 =& \frac{1}{n-1} \sum_{t=1}^n (c_t - \bar c)^2 \\ \hat\sigma_{rs}^2 =& \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \left\{ u_t (u_t - c_t) + d_t (d_t - c_t) \right\} \\ k =& \frac{4}{1.34 + (n+1)/(n-1)} \end{aligned}\] 观察\(\hat\sigma_{rs}^2\)由Rogers和Satchell(1991)建议, 选择\(k\)使得\(\hat\sigma_{yz}^2\)的标准误差最小, \(\hat\sigma_{yz}^2\)是三种观察的一次的结成。

            (Alizadeh, Brandt, and Diebold 2002)建议了用第\(t\)天的兑换徘徊\(H_t - L_t\)观察波动率的方式。 虽然现实中股本权益的价钱仅在有市的合拍被庆祝到, 因而现实的\(H_t\)\(L_t\)能够是未被庆祝到的, 庆祝的价钱兑换徘徊能够低估了现实兑换徘徊, 如此低估波动率。 属于市频繁的股本权益, 这种偏航可以疏忽; 市不敷频繁的股本权益则必要思索这种偏航的假装。

            

    用OHLC履历观察标准普尔500日对数退位的波动率

            标准普尔500物价、人口等的指数的OHLC履历,从1980-01-03到2010-08-31, 共7737个市日的履历。 观察日对数退位波动率。

            
            chartSeries(
      , subset="2010-06/2010-08", 
      type="bars", theme="white", TA=NULL,
      main="SP500 Daily Price",
      "months", 
      "months")
            标准普尔500物价、人口等的指数序列日履历在2010年6-8月

             图: 标准普尔500物价、人口等的指数序列日履历在2010年6-8月

            图为标准普尔物价、人口等的指数日履历在到8月的OHLC图形。 竖线条表现徘徊, 左缘的铅笔头表现以开盘价, 左边的铅笔头表现金钱或财产的转让。

            运用三种方式观察波动率:

    • 运用式()方式, 取滑动窗口,窗口上涂料\(n=63\),约学期;
    • 运用式()方式但取\(n=32\), 与后面的方式关系上地,看窗宽选择的假装;
    • 日对数退位序列观察波动性的Arma-garch陶冶。

            (杨 and Zhang 2000)用表情观察R应变量, 滑动窗口计算, 计算波动率的工夫与t的最左边使结盟:

            
            ## 输出x作为XTS典型的工夫序列,BW是滑动窗口的宽度
    volatility.ohlc.yz <-function(x, bw=63){
      times <-index(x)
      nobs <-length(年龄)
      stdop <-log(Op(x)) -log(lag(Cl(x)[,1]))
      stdhi <-log(Hi(x)) -log(Op(x))
      stdlo <-log(Lo(x)) -log(Op(x))
      stdcl <-log(Cl(x)[,1]) -log(lag(Cl(x))[,1])
      k <-4/(1.34+(bw+1)/(bw-1))
      
      vo <-numeric(nobs); vo[1:bw] <-NA
      vc <-vo
      vrs <-vo
      vyz <-vo
      
      ## 滑动计算
      for(it in (bw+1):nobs){
        ind <-(it-bw+1):it
        vo[it] <-var(stdop[ind], na.rm=TRUE)
        vc[it] <-var(stdcl[ind], na.rm=TRUE)
        vrs[it] <-1/bw*sum(stdhi[ind]*(stdhi[ind] -stdcl[ind]) +stdlo[ind]*(stdlo[ind] -stdcl[ind]))
      }
      vyz <-vo +k*vc +(1-k)*vrs
      
      xts(cbind(Volatility=c(sqrt(vyz))), times)
    }

            运用式()方式, 取滑动窗口,窗口上涂料\(n=63\),观察波动率:

            
            mod4 <-volatility.ohlc.yz(, bw=63)

            观察的波动率序列:

            
            plot(mod4, type="l", col="red",
         ylim=c(0, ),
         main="Yang-Zhang(BW=63)", 
         "years", minor.ticks=NULL, 
         "years")
            63天滑动计算的波动率

             图21.7: 63天滑动计算的波动率

            运用式()方式, 取滑动窗口,窗口上涂料\(n=32\),观察波动率:

            
            mod5 <-volatility.ohlc.yz(, bw=32)

            观察的波动率序列:

            
            plot(mod5, type="l", col="red",
         ylim=c(0, ),
         main="Yang-Zhang(BW=32)", 
         "years", minor.ticks=NULL, 
         "years")
            32天滑动计算的波动率

             图21.8: 32天滑动计算的波动率

            上面对日金钱或财产的转让的对数退位安装一个人ARMA-GARCH陶冶,并观察波动率。

            
            library(fGarch)
    mod6 <-garchFit(
      ~1+arma(4,0) +garch(1,1), 
      data=diff(log(coredata()[,"Close",drop=TRUE])),
      追踪FALSE)
    summary(mod6)
            ## 
    ## Title:
    ##  GARCH Modelling 
    ## 
    ## Call:
    ##  garchFit(formula = ~1 + ARMA(4), 0) + GARCH(1), 1), data = 区分(日记(coredata, 
    ##     "Close", drop = 真的, 追踪 = 假) 
    ## 
    ## Mean and Variance Equation:
    ##  data ~ 1 + ARMA(4), 0) + GARCH(1), 1)
    ## 
    ##  [履历] = 区分(日记(coredata, "Close", drop = 真的]
    ## 
    ## Conditional Distribution:
    ##  norm 
    ## 
    ## 系数
    ##          mu          ar1          ar2          ar3          ar4  
    ##  5.5450e-04   1.4467e-02  -101e-02  -2.2045e-02  -3.3974e-02  
    ##       omega       α1        β1  
    ##  1e-06   7.5577e-02   9.1579e-01  
    ## 
    ## 发热的 Errors:
    ##  based on Hessian 
    ## 
    ## Error Analysis:
    ##          Estimate  发热的 Error  t value PR(>t)    
    ## mu      5.545e-04   9.545e-05    5.810 6.26e-09 ***
    ## ar1     1.447e-02   1.218e-02    87  0.23510    
    ## ar2    -10e-02   1.204e-02   -0.922  5655    
    ## ar3    -2.205e-02   1.200e-02   -1.836  0.06629 .  
    ## ar4    -3.397e-02   1.200e-02   -2.830  0.00465 ** 
    ## omega   e-06   2.036e-07    6.131 8.74e-10 ***
    ## α1  7.558e-02   5.628e-03   13.428  < 2e-16 ***
    ## β1   9.158e-01   6.294e-03  145.511  < 2e-16 ***
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 ''***''  ''**''  ''*''  ''.''  '' '' 1
    ## 
    ## Log Likelihood:
    ##  25058.57    normalized:  3.239216 
    ## 
    ## Description:
    ##  Sat May 05 19:11:51 2018 by user: user 
    ## 
    ## 
    ## Standardised Residuals Tests:
    ##                                 Statistic p-Value  
    ##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  7046.432  0        
    ##  Shapiro-Wilk Test  R    W      NA        NA       
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  8.763907  546468
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  22417  598465
    ##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  23.14705  0.2816321
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  3.647533  0.96185  
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  5.38237   0.988364 
    ##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  8.517023  0.9878564
    ##  LM Arch Test       R    TR^2   4.441796  0.9740825
    ## 
    ## Information Criterion Statistics:
    ##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
    ## -6.476364 -6.469173 -6.476366 -6.473898

            观察的陶冶是 \[\begin{aligned} r_t =& 0.00055 + 45 r_{t-1} - 11 r_{t-2} - 0.0221 r_{t-3} - 0.0340 r_{t-4} + a_t, \\ a_t =& \sigma_t \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \text{N}(0,1) \\ \sigma_t^2 =& \times 10^{-6} + 56 a_{t-1}^2 + \sigma_{t-1}^2 \end{aligned}\] 除高斯散布免得外,该陶冶是广大的的。 观察的波动率序列图:

            
            plot(
      xts(volatility(mod6), index()[-1]),
      type="l", col="red",
      ylim=c(0, ),
      main="ARMA-GARCH Volatility Estimate of BP500", 
      "years", minor.ticks=NULL, 
      "years"
    )
            ARMA-GARCH买到的SP500日波动率

             图21.9: ARMA-GARCH买到的SP500日波动率

            将三种方式买到的波动率画在相同座标系中关系上地:

            
            plot(index([-1]), c(coredata(mod4))[-1], 
         type="l", xlab="Year", 
         ylab="Volatility", 
         main="Comparing 3 volatility series",
         ylim=c(0, ),
         col="blue")
    lines(index([-1]), c(coredata(mod5))[-1], 
          col="cyan")
    lines(index([-1]), c(volatility(mod6)), 
          col="black")
    legend("top", lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
           legend=c("Yang-Zhang BW=63", "Yang-Zhang BW=32", ARMA-GARCH))
            标准普尔500用三种方式观察的日波动率

             图0 标准普尔500用三种方式观察的日波动率

            如图0所示, 三种方式观察的波动率近似于非极值va, Arma-garch观察了更多的极值, 杨窗宽63和32的成功实现的事心不在焉不同。



                  
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